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          對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△2an=△an+1-△an．
          （Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式數(shù)學(xué)公式，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，并說明理由；
          （Ⅱ）若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1，且滿足數(shù)學(xué)公式，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				解：（Ⅰ），
          ∵△an+1-△an=2，且△a1=4，（2分）
          ∴{△an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．   （3分）
          ∵△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
          ∴由定義知，{△2an}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列．  （6分）
          （Ⅱ），即，即，
          又△an=an+1-an，∴．（9分）
          ∵a1=1，∴，，，
          猜想．（10分）
          證明：�。┊�(dāng)n=1時，；
          ⅱ）假設(shè)n=k時，則．
          當(dāng)n=k+1時，．結(jié)論也成立．
          ∴由�。�、ⅱ）可知，．（12分）
          分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，結(jié)合新定義，可判定{△an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，{△2an}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列；
          （Ⅱ）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證題時要利用到歸納假設(shè)．
          點(diǎn)評：本題主要考查對新定義的理解，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)，先猜后證是關(guān)鍵．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          8、對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N）．對自然數(shù)k，規(guī)定{△kan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
          （1）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n（n∈N），，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
          （2）若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
          （3）（理）對（2）中數(shù)列{an}，是否存在等差數(shù)列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an對一切自然n∈N都成立？若存在，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，則請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規(guī)定{△kan} 為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n（n∈N*），則以下結(jié)論正確的序號為
          ①④
          ①④
          ．
          ①△an=2n+2；       
          ②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
          ③數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和為an=n2+n；   
          ④{△2an}的前2014項(xiàng)之和為4028．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規(guī)定{△kan}為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n（n∈N*），則以下結(jié)論正確的序號為
          ①④
          ①④
          ．
          ①△an=2n+24；       
          ②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
          ③數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和為an=n2+n；   
          ④{△2an}的前2014項(xiàng)之和為4028．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對數(shù)列{an}，規(guī)定{Van}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Van=an+1-an（n∈N*）．對正整數(shù)k，規(guī)定{Vkan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中Vkan=Vk-1an+1-Vk-1an=V（VK-1an）（規(guī)定V0an=an）．
          （Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n（n∈N*），是判斷{Van}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
          （Ⅱ）若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足V2an-Van+1+an=-2n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•桂林一模）對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△2an=△an+1-△an．
          （Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N*)，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，并說明理由；
          （Ⅱ）若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
          

			
          

			
          
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