Question

對數(shù)列{a_n}，規(guī)定{Va_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．對正整數(shù)k，規(guī)定{V^ka_n}為{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（規(guī)定V⁰a_n=a_n）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判斷{Va_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，所以△a_n+1-△a_n=2．由此能夠判斷{△a_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，所以△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2 …（4分）
則△a_n+1-△a_n=2，
所以△a_n是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ
而△a_n=a_n+1-a_n，所以a_n+1-2a_n=2ⁿ，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，（6分）
∴數(shù)列{

an

2n

}構(gòu)成以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
即

an

2n

=

n

2

⇒a_n=n•2^n-1．（7分）

點(diǎn)評：本題以新定義為載體，第（Ⅰ）題考查等差數(shù)列的判斷，解題時要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用；第（Ⅱ）題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，解題時要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．