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        1. 對(duì)數(shù)列{an},規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△an=an+1-an(n∈N*);一般地,規(guī)定{△kan}為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中kan=k-1an+1-k-1an(k∈N*,k≥2).已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N*),則以下結(jié)論正確的序號(hào)為
          ①④
          ①④

          ①△an=2n+24;       
          ②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;
          ③數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和為an=n2+n;   
          ④{△2an}的前2014項(xiàng)之和為4028.
          分析:根據(jù)△an=an+1-an 計(jì)算可得①不正確.根據(jù)△2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,得{△2an}是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列,故對(duì)數(shù)列{△3an},△3an=2-2=0,故②不正確.
          計(jì)算數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和的值,可得③不正確. 根據(jù){△2an}是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列,求得{△2an}的前2014項(xiàng)之和的值,可得④正確.
          解答:解:由于△an=an+1-an(n∈N*),{△kan}為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,kan=k-1an+1-k-1an,an=n2+n
          故△an=an+1-an =(n+1)2+(n+1)-[n2+n]=2n+2,故①不正確.
          由于△2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,∴{△2an}是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列,故對(duì)數(shù)列{△3an},△3an=2-2=0,故數(shù)列{△3an}是等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列,故②不正確.
          數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和為△a1+△a2+…+△an=a2-a1+a3-a2+…+an+1-an=an+1-a1=(n+1)2+(n+1)-[1+1]=n2+3n,故③不正確.
          由于△2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,∴{△2an}是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列,{△2an}的前2014項(xiàng)之和為 2×2014=4028,故④正確.
          點(diǎn)評(píng):本小題以新定義為載體主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義的基礎(chǔ)知識(shí),考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法,還考查了把新的定義轉(zhuǎn)化為利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          8、對(duì)數(shù)列{an},規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△an=an+1-an(n∈N).對(duì)自然數(shù)k,規(guī)定{△kan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an).
          (1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N),,試判斷{△an},{△2an}是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
          (2)若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1,且滿足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
          (3)(理)對(duì)(2)中數(shù)列{an},是否存在等差數(shù)列{bn},使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an對(duì)一切自然n∈N都成立?若存在,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,則請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          對(duì)數(shù)列{an},規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△an=an+1-an(n∈N*);一般地,規(guī)定{△kan} 為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an(k∈N*,k≥2).已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N*),則以下結(jié)論正確的序號(hào)為
          ①④
          ①④

          ①△an=2n+2;       
          ②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;
          ③數(shù)列{△an}的前n項(xiàng)之和為an=n2+n;   
          ④{△2an}的前2014項(xiàng)之和為4028.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          對(duì)數(shù)列{an},規(guī)定{Van}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中Van=an+1-an(n∈N*).對(duì)正整數(shù)k,規(guī)定{Vkan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中Vkan=Vk-1an+1-Vk-1an=V(VK-1an)(規(guī)定V0an=an).
          (Ⅰ)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N*),是判斷{Van}是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由;
          (Ⅱ)若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且滿足V2an-Van+1+an=-2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•桂林一模)對(duì)數(shù)列{an},規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△an=an+1-an(n∈N*).規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列,其中△2an=△an+1-△an
          (Ⅰ)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈N*),試判斷{△an},{△2an}是否為等差或等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;
          (Ⅱ)若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1,且滿足2an-△an+1+an=-2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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