Question

【題目】若函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，且在上也是增函數(shù)，則稱是上的“完美增函數(shù)”.已知，.

（1）判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“完美增函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是區(qū)間上的“完美增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）

【解析】

(1)可根據(jù)已知條件分別求出和在區(qū)間是不是單調(diào)遞增函數(shù)，再根據(jù)給的定義來判斷是否為“完美增函數(shù)”；

(2)利用函數(shù)是區(qū)間上的“完美增函數(shù)”，可得到和在區(qū)間均為增函數(shù)，從而可得到實(shí)數(shù)的最大值.

(1)由，則求導(dǎo)得，

所以在上是增函數(shù)；

又，則求導(dǎo)得，

當(dāng)時(shí)，不恒成立，即在上不是增函數(shù).

所以函數(shù)不是區(qū)間上的“完美增函數(shù)”.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“完美增函數(shù)”，

所以和在區(qū)間均為增函數(shù)，

由，則求導(dǎo)得，

即在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又，求導(dǎo)得，

若，則，解得，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.

于是實(shí)數(shù)的最大值為.