【題目】某名校從
年到
年考入清華，北大的人數(shù)可以通過(guò)以下表格反映出來(lái)。（為了方便計(jì)算，將年編號(hào)為
，
年編為
，以此類(lèi)推……）
年份 |
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人數(shù) |
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（1）將這
年的數(shù)據(jù)分為人數(shù)不少于
人和少于人兩組，按分層抽樣抽取
年，問(wèn)考入清華、北大的人數(shù)不少于20的應(yīng)抽多少年？在抽取的這年里，若隨機(jī)的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于的概率是多少？；
（2）根據(jù)最近年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程，并用以預(yù)測(cè)
年該�？既肭迦A、北大的人數(shù)。（結(jié)果要求四舍五入至個(gè)位）
參考公式：
【答案】（1）
年，
（2）
與
之間的線性回歸方程
，預(yù)測(cè)
年該�？既肭迦A，北大的人數(shù)為
人。
【解析】
（1）先統(tǒng)計(jì)出人數(shù)少于20人有幾年，人數(shù)不少于20人的有幾年，這樣按分層抽樣抽取5年，這樣就可以求出考入清華、北大的人數(shù)不少于5的應(yīng)抽多少年，然后求出隨機(jī)的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于
的概率。
（2）按照公式求出
，最后求出與之間的線性回歸方程，當(dāng)
，代入線性回歸方程中，就可預(yù)測(cè)
年該�？既肭迦A、北大的人數(shù)。（格外要注意結(jié)果要求四舍五入至個(gè)位）
（1）在這10年里，人數(shù)不少于人有4年，少于20人的有6年，分層抽樣抽取5年，所以抽取人數(shù)不少于人有2年，少于20人的有3年；隨機(jī)的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于為事件
，則
。
（2）計(jì)算出
，代入所給的公式中，
得
，與之間的線性回歸方程，當(dāng)時(shí)，
，
所以與之間的線性回歸方程，預(yù)測(cè)年該�？既肭迦A，北大的人數(shù)為人。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】判斷下列命題的真假：
（1）
是有理數(shù)；（2）
；
（3）奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)；（4）兩個(gè)集合的交集還是一個(gè)集合；
（5）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（6）方程
有實(shí)數(shù)根；
（7）
；（8）如果
，那么
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某班共有學(xué)生45人，其中女生18人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從男、女學(xué)生中各抽取若干學(xué)生進(jìn)行演講比賽，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表（單位：人）
性別 | 學(xué)生人數(shù) | 抽取人數(shù) |
女生 | 18 |
|
男生 |
| 3 |
（1）求
和
；
（2）若從抽取的學(xué)生中再選2人做專(zhuān)題演講，求這2人都是男生的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】甲、乙兩家銷(xiāo)售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷(xiāo)員，日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元，每銷(xiāo)售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元，日銷(xiāo)售量不超過(guò)45件沒(méi)有提成，超過(guò)45件的部分每件提成8元.
(I)請(qǐng)將兩家公司各一名推銷(xiāo)員的日工資
(單位: 元) 分別表示為日銷(xiāo)售件數(shù)
的函數(shù)關(guān)系式;
(II)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷(xiāo)員，對(duì)他們過(guò)去100天的銷(xiāo)售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖。若記甲公司該推銷(xiāo)員的日工資為
,乙公司該推銷(xiāo)員的日工資為
(單位: 元)，將該頻率視為概率，請(qǐng)回答下面問(wèn)題:
某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷(xiāo)員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由.
【答案】(I)見(jiàn)解析； (Ⅱ)見(jiàn)解析.
【解析】分析：(I)依題意可得甲公司一名推銷(xiāo)員的工資與銷(xiāo)售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式，而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式，由此解得；(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷(xiāo)員的日工資的分布列，從而可分別求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可得結(jié)論.
詳解：(I)由題意得,甲公司一名推銷(xiāo)員的日工資
(單位:元) 與銷(xiāo)售件數(shù)
的關(guān)系式為: 
.
乙公司一名推銷(xiāo)員的日工資
(單位: 元) 與銷(xiāo)售件數(shù)
的關(guān)系式為: 
(Ⅱ)記甲公司一名推銷(xiāo)員的日工資為
(單位: 元),由條形圖可得
的分布列為
| 122 | 124 | 126 | 128 | 130 |
| 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
記乙公司一名推銷(xiāo)員的日工資為
(單位: 元),由條形圖可得
的分布列為
| 120 | 128 | 144 | 160 |
| 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴僅從日均收入的角度考慮，我會(huì)選擇去乙公司.
點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：
第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；
第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；
第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；
第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點(diǎn).
（1）證明： 
；
（2）設(shè)
為線段
上的動(dòng)點(diǎn)，若線段
長(zhǎng)的最小值為
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知直線
， (
為參數(shù)， 
為傾斜角).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的直角坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)
的直角坐標(biāo)為
，直線
與曲線
的交點(diǎn)為
、
，求
的取值范圍.
【答案】（I）
；（II）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將由
代入
，化簡(jiǎn)即可得到曲線
的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將
的參數(shù)方程
代入
，得
，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理結(jié)合輔助角公式，由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.
試題解析：（Ⅰ）由
及
，得
，即
所以曲線
的極坐標(biāo)方程為
（II）將
的參數(shù)方程
代入
，得
∴
, 所以
，又
，
所以
，且
,
所以
,
由
，得
，所以
.
故
的取值范圍是
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】已知
、
、
均為正實(shí)數(shù).
（Ⅰ）若
，求證： 
（Ⅱ）若
，求證： 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展， 
年某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)“雙
”一天的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)
億元人民幣，平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿(mǎn)意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出
次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品的滿(mǎn)意率為
，對(duì)快遞的滿(mǎn)意率為
，其中對(duì)商品和快遞都滿(mǎn)意的交易為
次.
（1）根據(jù)已知條件完成下面的
列聯(lián)表，并回答能否有
的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿(mǎn)意與對(duì)快遞滿(mǎn)意之間有關(guān)系”？
對(duì)快遞滿(mǎn)意 | 對(duì)快遞不滿(mǎn)意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品滿(mǎn)意 |
| ||
對(duì)商品不滿(mǎn)意 | |||
合計(jì) |
|
（2）為進(jìn)一步提高購(gòu)物者的滿(mǎn)意度，平臺(tái)按分層抽樣方法從中抽取
次交易進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，詳細(xì)了解滿(mǎn)意與否的具體原因，并在這
次交易中再隨機(jī)抽取
次進(jìn)行電話(huà)回訪，聽(tīng)取購(gòu)物者意見(jiàn).求電話(huà)回訪的
次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿(mǎn)意的概率.
附： 
（其中
為樣本容量）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知三棱錐
（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形
為邊長(zhǎng)為
的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐
中：
(I)證明：平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)若點(diǎn)
在棱
上，滿(mǎn)足
， 
，點(diǎn)
在棱
上，且
，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2-2x,（a∈R,a≠0）
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與x軸平行,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤ax在x∈[
,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求證：BD⊥平面ACFE；
(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45°時(shí)，求異面直線OF與BE所成的角的余弦值大小．
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