Question

已知橢圓方程為

y2

2

+x2=1，斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．由此能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）設橢圓上焦點為F，則S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

，所以△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．由此能求出△MPQ的面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．…（3分）
設線段PQ中點為N，則點N的坐標為(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
由題意有k_MN•k=-1，可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．可得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）設橢圓上焦點為F，
則S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

…（9分）
所以△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
設f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）(0，

1

4

)．
可知f（m）在區(qū)間(0，

1

4

)單調遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調遞減．
所以，當(0，

1

4

)時，f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．
所以，當時，△MPQ的面積有最大值

3 6

16

．…（12分）

點評：本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．