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        1. (2012•瀘州二模)已知雙曲線方程
          x2
          2
          -
          y2
          2
          =1
          ,橢圓方程
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,A、D分別是雙曲線和橢圓的右準線與x軸的交點,B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點,O為坐標原點,且|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比數(shù)列.
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)若E是橢圓長軸的左端點,動點M滿足MC⊥CE,連接EM,交橢圓于點P,在x軸上有異于點E的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點,求點Q的坐標.
          分析:(Ⅰ)由雙曲線方程
          x2
          2
          -
          y2
          2
          =1
          ,可求A(1,0),B(
          2
          ,0)
          ,根據(jù)|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比數(shù)列,可得C(2,0),D(2
          2
          ,0)
          ,根據(jù)D是橢圓的右準線與x軸的交點,C為橢圓的右頂點,即可求得橢圓的方程;
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,C(2,0),E(-2,0),將y=k(x+2)代入
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,可求P的坐標;設Q(x0,0),x0≠-2,若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點,則MQ⊥CP,從而有
          MQ
          CP
          =0
          ,進而可知存在Q(0,0),使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點.
          解答:解:(Ⅰ)由已知A是雙曲線的右準線與x軸的交點,B為雙曲線的右頂點,雙曲線方程
          x2
          2
          -
          y2
          2
          =1

          A(1,0),B(
          2
          ,0)

          ∵|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比數(shù)列.
          C(2,0),D(2
          2
          ,0)

          ∵D是橢圓的右準線與x軸的交點,C為橢圓的右頂點,
          a=2,
          a2
          c
          =2
          2

          a=2,b=c=
          2

          ∴所求橢圓的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          ;
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,C(2,0),E(-2,0),設直線EM的方程為:y=k(x+2),P(x1,y1
          ∵MC⊥CE,∴M(2,4k)
          將y=k(x+2)代入
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0
          -2x1=
          8k2-4
          1+2k2

          x1=
          -4k2+2
          1+2k2

          y1=k(x1+2)=
          4k
          1+2k2

          ∴P(
          -4k2+2
          1+2k2
          , 
          4k
          1+2k2

          設Q(x0,0),x0≠-2
          若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點,則MQ⊥CP
          MQ
          CP
          =0

          MQ
          =(x0-2,-4k)
          ,
          CP
          =(
          -8k2
          1+2k2
          ,
          4k
          1+2k2
          )

          MQ
          CP
          =(x0-2,-4k)• (
          -8k2
          1+2k2
          ,
          4k
          1+2k2
          )
          =0
          8k2
          1+2k2
          ×x0 =0

          ∴x0=0
          ∴存在Q(0,0),使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點.
          點評:本題重點考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查向量知識的運用,解題的關鍵是將兩直線與橢圓方程聯(lián)立,將向量關系轉(zhuǎn)化為坐標關系.
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          3
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          6
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