Question

（2012•瀘州二模）函數(shù)y=f（x）定義在R上，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x-1）是奇函數(shù)，且當0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=f（1）在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實根之和為（　�。�

A．22

B．24

C．26

D．28

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，再由f（x-1）是奇函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，因此可以證明出函數(shù)的周期為4．只要找出方程f（x）+4=f（1）在在區(qū)間（-2，2）內(nèi)實根的情況，就不難找到f（x）+4=f（1）在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實根之和了．

解答：解：根據(jù)題意，f（1）=log₃1=0，
因此方程f（x）+4=f（1）化簡為f（x）=-4
當0＜x≤1時，f（x）=log₃x=-4，可得x=3 -4=

1

81

因為f（x）是偶函數(shù)，所以當-1≤x＜0時，f（x）=log_3-（-x）=-4，
可得-x=3 -4=

1

81

，x= -

1

81

 
∵f（x-1）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點（-1，0）對稱
∴當-2＜x≤-1時的函值域與當-1≤x＜0時函數(shù)值域互為相反數(shù)，f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于點y軸對稱得，當-2＜x≤-1時的函值域與當1≤x＜2時函數(shù)值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
因此函數(shù)在（-2，2）只有兩個實數(shù)根x=±

1

81

又∵f（2-x）=f（x-2）=f（-1+（x-1））=-f（-1-（x-1））=-f（-x）
∴f（2+x）=-f（x）⇒f（4+x）=-f（2+x）=f（x）
 函數(shù)的周期為4
因此可得在（2，6）只有兩個實數(shù)根x=±

1

81

+4，在（6，10）只有兩個實數(shù)根x=±

1

81

+8
因此可得六個實數(shù)根的和為-

1

81

+

1

81

+(-

1

81

+4)+(

1

81

+4)+( -

1

81

+8)+(

1

81

+8 )=24
故選B

點評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應用以及函數(shù)圖象的對稱性與奇偶性等知識點，屬于難題．充分利用函數(shù)的奇偶性與周期性，熟練對數(shù)的運算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．