Question

（本題滿分14分）設為非負實數(shù)，函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）當時，函數(shù)有一個零點；
當時，函數(shù)有兩個零點；
當時，函數(shù)有三個零點．

試題分析：（Ⅰ）當時，，然后對于分段函數(shù)各段的情況分別說明單調(diào)性，整體來合并得到結論。
（2）當時，，
故當時，，二次函數(shù)對稱軸，那么結合二次函數(shù)的 性質可知頂點的函數(shù)值為正數(shù)，負數(shù)，還是零，來確定零點的問題。
解：（Ⅰ）當時，，
① 當時，，∴在上單調(diào)遞增；
② 當時，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）（1）當時，，函數(shù)的零點為；   
（2）當時，，
故當時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴在上單調(diào)遞增，又，f(x)與x軸在有唯一交點；
當時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∴，
 當，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，
 當，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點
 當，即時，f(a)<0，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點
綜上可得，當時，函數(shù)有一個零點；
當時，函數(shù)有兩個零點；
當時，函數(shù)有三個零點．
點評：解決該試題的關鍵是對于參數(shù)的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點，也是該試題一個難點。