Question

【題目】已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于不同的兩點，.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否存在與的取值無關(guān)的定點，使得直線，的斜率之和恒為定值？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）本題可根據(jù)題意得出焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離為2即可求出，最后根據(jù)即可求出拋物線方程；

（2）本題首先可設(shè)出、、，然后聯(lián)立方程并通過韋達(dá)定理得出，再然后對進(jìn)行化簡并根據(jù)為與無關(guān)的常數(shù)得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.

（1）由題意得，準(zhǔn)線方程：，所以，拋物線方程為.

（2）假設(shè)存在定點滿足題意，設(shè)，，，

聯(lián)立方程，消去得，由韋達(dá)定理得，

因為直線、的斜率為、，

所以

.

要使為與無關(guān)的常數(shù)，只能，解得，，

此時為常數(shù)，

綜上所述，存在定點，使得直線、的斜率之和恒為定值0.