Question

【題目】已知橢圓：和圓：，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線：與軸交于點(diǎn)，且與橢圓和圓都相切，切點(diǎn)分別為，，記和的積分別為和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(I) 由題意可得，設(shè)，運(yùn)用直線和圓相切的條件，可得，結(jié)合a，b, c的關(guān)系，解得a, c,進(jìn)而得到橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)，，將代入，結(jié)合直線和橢圓相切的條件判別式為0，解得M的坐標(biāo)，可得的面積，再由直線和圓相切的條件，解方程可得N的坐標(biāo)，求得Q的坐標(biāo)，計(jì)算的面積為,求得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后運(yùn)用基本不等式即可得證.

（Ⅰ）由題可知. ①

設(shè)，則由與圓相切時(shí)得，即. ②

將①②代入解得.

所以的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，

將代入得，

由直線與橢圓相切得即，且

，

則的面積.

由直線與圓相切，設(shè)：，與聯(lián)立得

.

直線：與軸交于點(diǎn)，則.

則的面積，

從而.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

所以的最小值為.