Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極值；

（2）若，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）極大值為；的極小值為；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)求出，求出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；

（2）由（1），結(jié)合極值點考慮與的大小關(guān)系，在為減函數(shù)，只需比較與大小關(guān)系，而，轉(zhuǎn)化為比較與比較大小，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)求出的單調(diào)性，即可得出的不等量關(guān)系，同理構(gòu)造函數(shù)，得出的不等量關(guān)系，即可證明結(jié)論.

（1）解：因為，

所以，

所以當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

則的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

故的極大值為；

的極小值為.

（2）證明：由（1）知.

設(shè)函數(shù)，，

，

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，且在上單調(diào)遞減，

所以，即.①

設(shè)函數(shù)，，

，

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，，且在上單調(diào)遞增，

所以，即.②

結(jié)合①②，可得.