Question

設雙曲線(a＞0,b＞0)的右頂點為A,P是雙曲線上異于頂點的一個動點,從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.(如圖)

(1)證明無論P點在什么位置，總有||²=|·|(O為坐標原點）；

(2)若以OP為邊長的正方形面積等于以雙曲線實、虛軸長為邊長的矩形的面積，求雙曲線離心率的取值范圍.

Answer 1

(1)證明:設OP:y=kx,又根據(jù)條件可設AR:y=(x-a),解得R(,).?

∴=(,).                                                                               ?

又∵AQ:y=-(x-a),?

同理可得=(,),?

∴|·|=.                                                                                   ?

設=(M,n),則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得m²=,n²=,?

||²=m²+n²=+=.?

∵點P在雙曲線上,∴b²-a²k²＞0.?

∴無論P點在什么位置,總有||²=|·|.                                               ?

(2)解:由條件得=4AB,即k²=＞0.?

∴4b＞a.∴＞.                                                                                                        ?

又∵e====＞=,?

∴e＞.