Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給以證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．

∴f（﹣x）+f（x）=0．

即： =0

化簡整理得： =0

可得：a2x+2=a+22x

解得：a=2．

所以實數(shù)a的值為2

（2）解：由（1）得f（x）= ，其定義域為R．

函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)減函數(shù)．證明如下：

設(shè)x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1＜x2，

∴ ，

故得f（x1）﹣f（x2）＞0．

所以函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)減函數(shù)

（3）解：由（1）可得f（x）= = = ．

∵

∴f（x） ，

所以函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞， ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義求解即可：即f（﹣x）+f（x）=0．（2）求函數(shù)的定義域，利用定法證明其單調(diào)性．（3）對函數(shù)進(jìn)行化簡，分離常數(shù)法，即可得到值域．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．