Question

【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上，給出下列命題：

①若直線過點(diǎn)，則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心；

②若直線過點(diǎn)，則存在點(diǎn)使為直角三角形；

③存在，使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心；

④若邊的中線軸，，則的面積為.

其中正確的序號(hào)為______________．

Answer 1

【答案】①②.

【解析】

對(duì)于①設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出坐標(biāo)和，再利用重心坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得出結(jié)論；

對(duì)于②當(dāng)直線過點(diǎn)，可證，即可得出結(jié)論為正確；

對(duì)于③判斷以焦點(diǎn)為圓心的圓與拋物線是否有三個(gè)交點(diǎn)；

對(duì)于④設(shè)方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求出的面積，即可判斷結(jié)論是否正確.

設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

①直線過點(diǎn)，設(shè)方程為，

聯(lián)立，消去，得，

，

拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心，

，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，

當(dāng)時(shí)，，①正確；

②直線過點(diǎn)，設(shè)方程為，

聯(lián)立消去得，，

，

，而點(diǎn)在拋物線上，故②正確；

③設(shè)以拋物線焦點(diǎn)為圓心的圓半徑為，

其方程為，與拋物線方程聯(lián)立得

，

方程至多只有一個(gè)非負(fù)解，即圓與拋物線至多只有兩個(gè)交點(diǎn)，

不存在，使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心；③不正確；

④的方程為，代入拋物線方程得，

，

設(shè)中點(diǎn)，軸，，

，代入拋物線方程得

，

.

④不正確.

故答案為:①②.