Question

已知函數(shù)g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1+2e

x

-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，得g′（x）=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）當(dāng)m=0時(shí)，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到單調(diào)區(qū)間，由極值定義可得極值；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-

m+2e

x

-2lnx，分m≤0，m＞0兩種情況進(jìn)行討論，由題意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可；

解答：解：（1）∵函數(shù)g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，
∴g′（x）=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，

xsinθ-1

x2sinθ

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使xsinθ-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需1×sinθ-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=

1-2e

x

-lnx，f′（x）=

(2e-1)-x

x2

，
當(dāng)0＜x＜2e-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2e-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的增區(qū)間是（0，2e-1），減區(qū)間是（2e-1，+∞），當(dāng)x=2e-1時(shí)，f（x）取得極大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-

m+2e

x

-2lnx，
①當(dāng)m≤0時(shí)，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x） max=F（e）=me-

m

e

-4，
只要me-

m

e

-4＞0，解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．