Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)為其左頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.

（1）求該橢圓的方程；

（2）設(shè)直線，分別交直線于點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線與的斜率分別為，，且，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，求得，設(shè)橢圓方程為，代入點(diǎn)，求得，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而得到， ，及的中點(diǎn)為，再結(jié)合斜率公式，即可求解.

（1）由題意，橢圓的離心率為，即，

解得，又由，所以，

設(shè)橢圓方程為，

又由橢圓過(guò)點(diǎn)，代入可得，解得，所以，

所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，，直線的方程為，

聯(lián)立方程組，整理得，

所以，，

直線的方程為，可得，

同理可得，所以的中點(diǎn)為，

所以的斜率

，

所以.