Question

（2013•貴陽(yáng)二模）如圖，在三棱柱ADF-BCE中，側(cè)棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)．
（I）若M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求證：GA∥平面FMC
（II）若多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，AM=λMB，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）方法一（面面平行性質(zhì)法）：取DC中點(diǎn)S，連接AS，GS，GA，由三角形中位定理可得GS∥FC，AS∥CM，進(jìn)而由面面平行的第二判定定理可得面GSA∥面FMC，最后由面面平行的性質(zhì)，得到答案．
方法二：（線(xiàn)面平行的判定定理法）：取FC中點(diǎn)N，連接GN，MN，由三角形中位線(xiàn)定理及平行四邊形判定定理，可得AMNG是平行四邊形，進(jìn)而AG∥MN，最后由線(xiàn)面平行的判定定理得到答案．
（II）設(shè)三棱柱ADF-BCE的體積為V，多面體F-ADM與多面體DMFEBC的體積分別是V₁，V₂，AM=x，由多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，可求出x與a的關(guān)系，進(jìn)而得到λ值．

解答：證明：（I）
方法一（面面平行性質(zhì)法）：
取DC中點(diǎn)S，連接AS，GS，GA
∵G是DF的中點(diǎn)，GS∥FC，AS∥CM
∵GS∩AS=S，GS，AS?面GSA，F(xiàn)C，CM?面FMC
∴面GSA∥面FMC，
而GA?平面GSA，
∴GA∥平面FMC…（6分）
方法二：（線(xiàn)面平行的判定定理法）
取FC中點(diǎn)N，連接GN，MN
∵G是DF中點(diǎn)
∴GF∥CD且GN=

1

2

CD
又∵AM∥CD且AM=

1

2

CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四邊形
∴AG∥MN又
∵M(jìn)N?平面FCM，AG?平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）設(shè)三棱柱ADF-BCE的體積為V，多面體F-ADM與多面體DMFEBC的體積分別是V₁，V₂，AM=x．
由題意得，V=(

1

2

DA•DF)•AB=(

1

2

a•a)•2a=a3，
V1=VM-ADF=

1

3

(

1

2

DA•DF)•x=

1

6

a2x，
V2=V-V1=a3-

1

6

a2x．…（9分）
因?yàn)閂₂=3V₁
所以a3-

1

6

a2x=3•

1

6

a2x，解得x=

3

2

a．
所以λ=

AM

BM

=

3 2 a

2a- 3 2 a

=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（I）的關(guān)鍵是熟練線(xiàn)面平行的證明方法和步驟，（II）的關(guān)鍵是由多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，求出x與a的關(guān)系．