Question

【題目】已知長方形， ， .以的中點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系.

（1）求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交（1）中橢圓于、兩點，是否存在直線，使得弦為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 存在過的直線： 使得以弦為直徑的圓恰好過原點.

【解析】試題分析：（1）橢圓的標準方程是；（2）設(shè)直線： ，聯(lián)立方程： ，得到韋達定理，以為直徑的圓恰好過原點，則，所以，代入韋達定理即可解出答案。

試題解析：

（1）由題意可得點， ， 的坐標分別為， ，

設(shè)橢圓的標準方程是（）

則 ，∴

∴

∴橢圓的標準方程是

（2）由題意直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為（）

設(shè)， 兩點的坐標分別為， ，聯(lián)立方程：

消去整理得， 有，

若以為直徑的圓恰好過原點，則，所以

所以，即

所以， 即

得，

所以直線的方程為，或

所以存在過的直線： 使得以弦為直徑的圓恰好過原點。