Question

【題目】已知函數(shù)的極小值為1.

（1）求a的值；

（2）當時，對任意，有成立，求整數(shù)b的最大值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，進行分類討論，根據(jù)極值，求出的值；

（2）由（1）可知，對函數(shù)進行求導(dǎo)，求出函數(shù)在的最大值，

即，比較的大小，作差，設(shè)新函數(shù)，求導(dǎo)，最后可求出的最大值為，對任意，有成立，只需.設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)，最后求出整數(shù)b的最大值.

解：（1）函數(shù)的定義域為，.

①當時，，在上單調(diào)遞增，

所以無極值；

②當時，由，得，

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以的極小值為，

解得.

（2）當時，，

由（1）知，當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以，

令，

所以時，，在上單調(diào)遞增，

所以，故，

因此的最大值為，

而對任意，有成立，只需.

令，則，

所以，，在上單調(diào)遞增.

由于，

又由于b為正數(shù)，所以.