Question

【題目】已知，函數(shù)有兩個不同的極值點，．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)的定義域，以及導(dǎo)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程

，轉(zhuǎn)化為二次方程在上有兩個不等的實根，再分析、對稱軸以及二次函數(shù)在處函數(shù)值的正負，列出有關(guān)的不等式組解出即可；

（2）由、為二次方程的兩根，列出韋達定理，再將韋達定理代入代數(shù)式，經(jīng)過化簡得出關(guān)于的函數(shù)，并令，

轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性證明結(jié)論成立。

（1），函數(shù) 定義域：．，

，

函數(shù)有兩個不同的極值點，img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/28/06/0c1e6116/SYS202005280601105383817422_DA/SYS202005280601105383817422_DA.012.png" width="18" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />．對于中的應(yīng)滿足①②③三個條件：

，①，△，②，③

由①②③可得的取值范圍：，

（2）證明：，

得：，．，

，

令，則，

將其令為即：，則有：，

，，在定義域是單調(diào)遞減的函數(shù)，

（4），在定義域也是單調(diào)遞減的函數(shù)，（4）．

即：得證．