Question

【題目】已知函數(shù)（），其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）已知， 為整數(shù)，若對任意，都有恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)m范圍確定導(dǎo)函數(shù)零點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)性，（2）先分離得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（隱零點），根據(jù)單調(diào)性求最小值，根據(jù)極值條件化簡最小值，最后根據(jù)最小值范圍確定k范圍，進(jìn)而確定的最大值．

試題解析：解：（1）由題意得，函數(shù)的定義域為， ．

若，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

若，則當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）當(dāng)時，對任意，都與恒成立，等價于對任意的恒成立，

令，則，

由（1）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減．

因為， ，

所以在區(qū)間上存在唯一零點，

∴在區(qū)間上也存在唯一零點，

設(shè)此零點為，則.

因為當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，

所以在區(qū)間上的最小值為，

所以.

又因為 ，

所以，

所以.

又因為為整數(shù)，且，

所以的最大值是2．