Question

已知向量與．
（Ⅰ）若在方向上的投影為，求λ的值；
（Ⅱ）命題P：向量與的夾角為銳角；
命題q：，其中向量，=（）（λ，α∈R）．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在方向上的投影的表達式是，由此得出關于λ的方程，解出即可．
（Ⅱ）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則pq中一真一假，分類求解，再合并即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知，在方向上的投影=，即=．
所以1-2λ=5，∴λ=-2．
（Ⅱ）1°，若p為真，則＞0，且，即1-2λ＞0，且λ≠-2．
2°若p為真，由得λ²-cos²α=λ+2sinα，
∴λ²-λ=cos²α+2sinα=1-sin2α+2sinα=-（sinα-1）²+2．
∵-1≤sinα≤1，∴-2≤λ²-λ≤2，∴-1≤λ≤2．
若p真q假，則∴λ＜-1且λ≠-2．
若p假q真，則∴≤λ≤2
綜上得λ∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪[，2]．
點評：本題考查向量投影的計算，復合命題真假性的判斷，考查分類討論、轉化、計算能力．