Question

已知橢圓（＞＞0）的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0），點(diǎn)（0，）在線段的垂直平分線上，且，求的值.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4即，在結(jié)合和可解得的值。（2）分析可知直線斜率存在，可設(shè)其方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系，其中一個(gè)根為另一個(gè)跟為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。根據(jù)在線段的垂直平分線上和可求的值。需注意對(duì)為0時(shí)的討論。

試題解析：（1）【解析】
由， 1分

得，再由，得 2分

由題意可知， 3分

解方程組 得：

所以橢圓的方程為： 4分

（2）【解析】
由（1）可知．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

直線的斜率顯然所在，設(shè)為，則直線的方程為, 5分

于是兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，由方程組消去并整理，

得 6分

由得 8分

設(shè)線段是中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為

以下分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．線段的垂直平分線為軸，于是

由得 10分

②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為

令，解得

整理得 13分

綜上 ． 14分

考點(diǎn)：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2直線和橢圓的位置關(guān)系。