Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）證明：當(dāng)時，在上有兩個極值點；

（3）設(shè)，若在上是單調(diào)減函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，通過切線的斜可求出的值，把切點代入切線方程可求出的值；

（2）將原問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個變號零點，再對求導(dǎo)，判斷其在上的單調(diào)性，然后結(jié)合零點存在定理證明；

（3）先將函數(shù)整理成，，令，通過求導(dǎo)、換元和構(gòu)造函數(shù)可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．然后分①，②和③三類情況，分別討論在滿足在上是單調(diào)減函數(shù)的情形下的取值范圍．

（1），，解得：，

又，，解得：；

（2），

在上有兩個極值點等價于在上有兩個變號零點，

，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又，，

在和上各有一個變號零點，

在上有兩個極值點；

（3），，

令，則，

令，設(shè)，，則，

在上單調(diào)遞增，，

即當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增.

①當(dāng)時，，

在上是減函數(shù)，，

令，

則恒成立，在上單調(diào)遞減，

，解得：；

②當(dāng)，即時，，

由①知：，

在上是減函數(shù)，恒成立，

即對恒成立，

令，，

則，

在上單調(diào)遞減，，

，又，；

③若，在上單調(diào)遞增，

，

存在唯一的使得，此時，

而，，在上不單調(diào)，不合題意；

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.