Question

【題目】我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異�！币馑际牵簝蓚�(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個(gè)幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

Answer 1

【答案】A

【解析】

將題目中的切線寫出來，然后表示出水平截面的面積，因?yàn)槭顷幱安糠中�轉(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個(gè)幾何體進(jìn)行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.

幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，

且等高的時(shí)候，拋物線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為

，

切線為，即，

橫截面面積

圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到

橫截面的面積為.

所以幾何體和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，

故選A項(xiàng).