Question

f（x）是定義在（-1，1）上的函數，對于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，且當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，給出下列命題：
①f（0）=0；  
②函數f（x）是偶函數；  
③函數f（x）只有一個零點；  
④f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），
其中正確命題的個數是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①，令x=y=0，即可求得f（0）=0；
②先令y=-x得f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），二者聯立，即可判斷函數f（x）的奇偶性；
③由①中f（0）=0，②函數f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，及已知“當x∈（-1，0）時，f（x）＞0”即可判斷③之正誤；
④依題意，作差f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（-

1

5

）＞0，可知f（

1

3

）＞f（

1

2

），同理可知f（

1

4

）＞f（

1

3

），于是可知④之正誤．

解答：解：對于①，∵對于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，
∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正確；
對于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），
再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），
（1）+（2）得：f（

2x

1+x2

）+f（

-2x

1+x2

）=0，
∴f（

-2x

1+x2

）=-f（

2x

1+x2

），
∴定義在（-1，1）上的函數f（x）為奇函數，故②錯誤；
對于③，∵函數f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，且當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，
∴當x∈（0，1）時，f（x）＜0，又f（0）=0，
∴函數f（x）在（-1，1）上只有一個零點，故③正確； 
對于④，∵當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，
∴f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（

1 3 - 1 2

1- 1 3 × 1 2

）=f（-

1

5

）＞0，
∴f（

1

3

）＞f（

1

2

）；
同理可得，f（

1

4

）＞f（

1

3

），
∴f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），即④正確；
綜上所述，正確命題的個數是3個，
故選：C．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法的應用，判斷函數f（x）的奇偶性是難點，也是解決問題的關鍵，考查轉化思想與創(chuàng)新思維能力，屬于難題．