Question

【題目】小王創(chuàng)建了一個由他和甲、乙、丙共4人組成的微信群，并向該群發(fā)紅包，每次發(fā)紅包的個數(shù)為1個（小王自己不搶），假設(shè)甲、乙、丙3人每次搶得紅包的概率相同．
（Ⅰ）若小王發(fā)2次紅包，求甲恰有1次搶得紅包的概率；
（Ⅱ）若小王發(fā)3次紅包，其中第1，2次，每次發(fā)5元的紅包，第3次發(fā)10元的紅包，記乙搶得所有紅包的錢數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記“甲第i次搶得紅包”為事件Ai（i=1，2），“甲第i次沒有搶得紅包”為事件 ．則 ， ．
記“甲恰有1次搶得紅包”為事件A，則 ，
由事件的獨立性和互斥性，得
= ．
（Ⅱ）記“乙第i次搶得紅包”為事件Bi（i=1，2，3），“乙第i次沒有搶得紅包”為事件 ．
則 ， ．
由題意知X的所有可能取值為0，5，10，15，20，
由事件的獨立性和互斥性，得：
．
．
．
．
．
所以X的分布列為：

X	0	5	10	15	20
P

所以乙搶得所有紅包的錢數(shù)之和X的數(shù)學(xué)期望：

【解析】（Ⅰ）記“甲第i次搶得紅包”為事件Ai（i=1，2），“甲第i次沒有搶得紅包”為事件 ．記“甲恰有1次搶得紅包”為事件A，則 ，由此利用事件的獨立性和互斥性，能求出甲恰有1次搶得紅包的概率．（Ⅱ）記“乙第i次搶得紅包”為事件Bi（i=1，2，3），“乙第i次沒有搶得紅包”為事件 ．由題意知X的所有可能取值為0，5，10，15，20，由事件的獨立性和互斥性，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出
X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關(guān)知識，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．