Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，a₁=1．設(shè)b_n=n³-3n²+5-a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是比較a_n與b_n的大��；
（3）設(shè)c_n=

1	n3-n2+6-bn

，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．a(chǎn)_n+1-a_n=2，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
（2）b_n=n³-3n²+5-a_n=n³-3n²+5-（2n-1）=n³-3n²-2n+6．首先考慮用作差法解決．
（3）利用裂項(xiàng)求和法求和

解答：解：（1）a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，所以a_n+1-a_n=2，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）b_n=n³-3n²+5-a_n=n³-3n²+5-（2n-1）=n³-3n²-2n+6．
b_n-a_n=n³-3n²-4n+7．
當(dāng)n=1時(shí)，b ₁-a₁=1＞0，b₁＞a₁
當(dāng)n=2時(shí)，b₂-a₂=-5＜0，b₂＜a₂
當(dāng)n=3時(shí)，b₃-a₃=-5＜0，b₃＜a₃
當(dāng)n=4時(shí)，b₄-a₄=7＞0，b₄＜a₄
考查函數(shù)f（x）=x³-3x²-4x+7（x≥4）
f′（x）=3x²-6x-4=3（x-1）2-7＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以n≥4時(shí)，數(shù)列{b_n-a_n}單調(diào)遞增，b_n＞a_n．
綜上所述，當(dāng)n=1或n≥4時(shí)，b_n＞a_n．當(dāng)n=2或3時(shí)，b_n＜a_n．
（3）c_n=

1

n3-n2+6-bn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
S_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=

1

2

(1-

1

n

)=

n-1

2n

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式求解，函數(shù)思想，裂項(xiàng)求和法．