Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿足   、β∈R，且α-2β=1
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量等式，得點(diǎn)C的坐標(biāo)，消去參數(shù)即得點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）將直線與橢圓方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結(jié)合向量的垂直關(guān)系得到關(guān)于a，b的關(guān)系，化簡即得結(jié)論．
（3）由（2）得 從而 又橢圓的離心率不大于，得出 ．解得橢圓長軸長2a的取值范圍即可．
解答：解：（1）設(shè)
∴即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1
（2）∴
設(shè)
由題意
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=
∴為定值
（3）∵，
∵，∴
∴，
∴
∴橢圓實(shí)軸長的取值范圍是
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．