Question

【題目】已知兩直線方程與，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且線段的長為定值.

（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與點(diǎn)的軌跡相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求原點(diǎn)的直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件設(shè)，，，建立與的關(guān)系，利用線段的長化簡計(jì)算即可；

（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得m2＜4k2+1，再由，可得，從而求得k的范圍，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線l的距離，則取值范圍可求．

（Ⅰ）∵點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，

∴設(shè)，，線段的中點(diǎn)，則有，

∴，

∵線段的長為定值，∴+=8，

即+=8，化簡得.

∴線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立得 ，

，化簡得①.

，

，

若，則，即，

所以 ，

即 ，化簡得②，

由①②得，，

因?yàn)?/span>到直線的距離，所以

又因?yàn)?/span>，所以，

所以到直線的距離的取值范圍是.