Question

m為何值時(shí)，拋物線y²=x上總存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-1）+1對(duì)稱．

Answer 1

分析：設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，根據(jù)兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，將兩點(diǎn)代入拋物線方程作差，得到斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，據(jù)點(diǎn)在拋物線上，利用基本不等式求出斜率范圍．

解答：解：設(shè)直線l的方程為y-1=m（x-1），弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入拋物線方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

m

，
∴y₁+y₂=-m．注意到AB的中點(diǎn)在直線l：y-1=m（x-1）上，∴x₁+x₂=1-

2

m

．
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-

2

m

．
由y₁²+y₂²＞

(y1+y2)2

2

，得1-

2

m

＞

m2

2

(m+2)(m2-2m+2)

2m

＜0
∴-2＜m＜0．
即當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，拋物線y²=x上總存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-1）+1對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，兩點(diǎn)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．