Question

【題目】已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為__________．

Answer 1

【答案】2

【解析】解：雙曲線的漸近線方程為，

右頂點(diǎn)(a,0)到其一條漸近線的距離等于，

可得，解得，即有c=1，

由題意可得，解得p=2，

即有拋物線的方程為y2=4x，

如圖,過點(diǎn)M作MA⊥l1于點(diǎn)A，

作MB⊥準(zhǔn)線l2:x=1于點(diǎn)C，

連接MF，根據(jù)拋物線的定義得MA+MC=MA+MF，

設(shè)M到l1的距離為d1,M到直線l2的距離為d2，

∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，

根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)M、A. F三點(diǎn)共線時(shí)，MA+MF有最小值。

∵F(1,0)到直線l1:4x3y+6=0的距離為.

∴MA+MF的最小值是2，

由此可得所求距離和的最小值為2.

故答案為2.