Question

求函數(shù)y=（

1

2

） x2-6x+17的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=x²-6x+17，
則t=（x-3）²+8，則函數(shù)y=f（x）等價為y=（

1

2

）^t，
則函數(shù)y=f（x）的定義域為R，
∵y=（

1

2

）^t，在定義域上為減函數(shù)，當(dāng)x＞3時，函數(shù)t=（x-3）²+8，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)y=（

1

2

） x2-6x+17為減函數(shù)，
當(dāng)x＜3時，函數(shù)t=（x-3）²+8，單調(diào)遞減，此時函數(shù)y=（

1

2

） x2-6x+17為增函數(shù)，
故函數(shù)的減區(qū)間為（3，+∞），增區(qū)間為（-∞，3），
∵t=（x-3）²+8≥8，
∴y=（

1

2

）^t≤（

1

2

）⁸=2^-8=

1

256

，
∵y=（

1

2

）^t＞0
即函數(shù)的值域為（0，

1

256

]

點評：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．