Question

已知函數(shù)，，.
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；
（3）證明不等式：.

Answer 1

（1）0；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、創(chuàng)新意識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想.第一問，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值；第二問，雖然是恒成立問題，但經(jīng)過分析可以轉(zhuǎn)化成求和，通過討論確定每段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性和最值；第三問，先通過觀察湊出所要證明的表達(dá)式的形式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，最后通過放縮法得到結(jié)論.
試題解析： （1）∵ ()
∴  ∴當(dāng)時(shí)，，時(shí) 
∴  ∴的最大值為0
（2），使得成立，等價(jià)于
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒為正，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，令解得
∴在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若即時(shí)，，∴ ∴ ∴，
若即時(shí)，在,，
而，在為正，在為負(fù)，
∴，
當(dāng)而時(shí)不合題意，
綜上的取值范圍為 .
（3）由（1）知即  ()
取  ∴   ∴即
∴
.