Question

已知R，函數(shù)e．
（1）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在極大值，并記為，求的表達(dá)式；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見試題解析．

試題分析：（1）令得，∴．再利用求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先解，得可能的極值點(diǎn)或，再分討論得函數(shù)極大值的表達(dá)式；（3）當(dāng)時(shí)，，要證 即證，亦即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
試題解析：(1)令得，∴．      1分
∵函數(shù)沒有零點(diǎn)，∴，∴．        3分
(2)，令，得或．   4分
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)隨變化，的變化情況如下表：

當(dāng)時(shí)，取得極大值；            6分
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，∴無極大值．      7分
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)隨變化，的變化情況如下表:

當(dāng)時(shí)，取得極大值，∴    9分
(3)證明：當(dāng)時(shí)，             10分
要證 即證，即證      11分
令，則．            12分
∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，時(shí)取最小值，，∴．
∴，∴．               14分