Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）先由已知建立空間直角坐標系，設(shè)D（

2

，b，0），從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進而求得線面角

解答：解：（I）以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
設(shè)D（

2

，b，0），則C（2

2

，0，0），P（0，0，2），E（

4 2

3

，0，

2

3

），B（

2

，-b，0）
∴

PC

=（2

2

，0，-2），

BE

=（

2

3

，b，

2

3

），

DE

=（

2

3

，-b，

2

3

）
∴

PC

•

BE

=

4

3

-

4

3

=0，

PC

•

DE

=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）

AP

=（0，0，2），

AB

=（

2

，-b，0）
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AP =2z=0 m • AB = 2 x-by=0

取

m

=（b，

2

，0）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（p，q，r），則

n • PC =2 2 p-2r=0 n • BE = 2 3 p+bq+ 2 3 r=0

取

n

=（1，-

2

b

，

2

）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴

m

•

n

=b-

2

b

=0．故b=

2

∴

n

=（1，-1，

2

），

DP

=（-

2

，-

2

，2）
∴cos＜

DP

，

n

＞=

n • DP

| n |•| DP  |

=

1

2

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，則sinθ=

1

2

∴θ=30°
∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

點評：本題主要考查了利用空間直角坐標系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運算量，屬中檔題