Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分8分．
如果數(shù)列同時滿足：（1）各項均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k, 對任意都成立，那么，這樣的數(shù)列我們稱之為“類等比數(shù)列” .由此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列” .問：
（1）若數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且k＝(a₂－a₁)²，求證：a₁、a₂、a₃成等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差數(shù)列，求的值；
（3）若數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b為常數(shù))，是否存在常數(shù)λ，使得對任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）或，（3）

試題分析：（1）解決新定義問題，關(guān)鍵根據(jù)“定義”列條件，當時，在中，令得即因為所以即故成等差數(shù)列，（2）根據(jù)“定義”，將所求數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.當時，，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為因為成等差數(shù)列，所以即因為所以 ，,解得或(舍去負值)．所以或,（3）存在性問題，通常從假設(shè)存在出發(fā)，列等量關(guān)系，將是否存在轉(zhuǎn)化為對應方程是否有解. 先從必要條件入手，再從充分性上證明：因為所以所以即得所以
而
試題解析：[解] (1)當時，在中，令得
即            2分
因為所以即
故成等差數(shù)列                           4分
(2)當時，，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)
所以數(shù)列是等比數(shù)列                        6分
設(shè)公比為因為成等差數(shù)列，所以
即因為
所以 ，            8分
解得或(舍去負值)．所以或 10分
(3)存在常數(shù)使（僅給出結(jié)論2分）
（或從必要條件入手）
證明如下：因為所以
所以即     12分
由于此等式兩邊同除以得    14分
所以
即當都有                16分
因為所以
所以
所以對任意都有
此時                          18分