Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ． 若對(duì)n∈N* ， 總k∈N* ， 使得Sn=ak ， 則稱數(shù)列{an}是“G數(shù)列”． （Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d=﹣1．證明：數(shù)列{an}是“G數(shù)列”；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n（n∈N*），判斷數(shù)列{an}是否為“G數(shù)列”，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“G數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：由題意an=1+（n﹣1）（﹣1）=2﹣n， ，
若 ，
則 ．
所以，存在k∈N* ， 使得Sn=ak ．
所以，數(shù)列{an}是“G數(shù)列．
（Ⅱ）首先a1=S1=3，
當(dāng)n≥2時(shí)， ，
所以
當(dāng)n=2時(shí)，9=2×3k﹣1 ， 得kN*因此數(shù)列{an}不是“G數(shù)列”．
（Ⅲ）若dn=bn，（b為常數(shù)），
則數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和 是數(shù)列{dn}中的第 項(xiàng)，因此數(shù)列{dn}是“G數(shù)列”．
對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，an=a1+（n﹣1）d，（d為公差），
設(shè)bn=na1 ， cn=（d﹣a1）（n﹣1），
則an=bn+cn ， 而數(shù)列{bn}和{cn}都是“G數(shù)列”．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)G數(shù)列的定義證明即可，（Ⅱ）由 ，可以判斷數(shù)列{an}不是“G數(shù)列”，（Ⅲ）若dn=bn，（b為常數(shù)），可與判斷數(shù)列{dn}是“G數(shù)列”，繼而可以證明an=bn+cn（n∈N*）成立．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．