Question

【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，記實(shí)數(shù)m的最大值為M．
（1）求M的值；
（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=M，求證： + ≥1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由絕對(duì)值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，

若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，

則滿足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．

∴M=4．

（2）解：由（1）知正數(shù)a，b，c滿足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1

∴ + = [（a+b）+（b+c）]（ + ）= （1+1+ + ）≥ （2+2 ）≥ ×4=1，

當(dāng)且僅當(dāng) = 即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2時(shí)，取等號(hào)．

∴ + ≥1成立

【解析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）利用1的代換，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．