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        1. 已知、是拋物線(>0)上異于原點的兩點,則“=0”是“直線恒過定點()”的(    )

          A.充分非必要條件B.充要條件
          C.必要非充分條件D.非充分非必要條件

          B

          解析解:由推“直線AB恒過定點(2p,0)”
          設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2
          (I)當直線l有存在斜率時,設直線方程為y=kx+b,顯然k≠0且b≠0.
          聯(lián)立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0

          又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,

          故直線l的方程為:y=kx-2pk=k(x-2p),故直線過定點(2p,0)
          (II)當直線l不存在斜率時,設它的方程為x=m,顯然m>0

          又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2
          可知直線l方程為:x=2,故直線過定點(2,0)
          綜合(1)(2)可知,滿足條件的直線過定點(2,0).
          由“直線AB恒過定點(2p,0)”推
          設l:x=ty+2p代入拋物線y2=2px消去x得,
          y2-2pty-4p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2
          則y1+y2=2pt,y1y2=-4p2
          =x1x2+y1y2=(ty1+2p)(ty2+2p)+y1y2
          =t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2
          =-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0.
          是“直線AB恒過定點(2p,0)”的充要條件.
          故選B.

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