Question

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，＝2.71828…）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分、討論函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍；（Ⅱ） 首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分、討論函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ） 由題，，.

①當(dāng)時(shí)，知，則是單調(diào)遞減函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，只有對(duì)于，不等式恒成立，才能使為單調(diào)函數(shù)，只需，解之得，此時(shí).

綜上所述，的取值范圍是

（Ⅱ） ，其中，.

（ⅰ） 當(dāng)時(shí)，，于是在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù)，

知恒成立，不合題意，舍去.

（ⅱ） 當(dāng)時(shí)，由得.列表得

	（0，）		（，）
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

①若，即，則在上單調(diào)遞減，

知，而，

于是恒成立，不合題意，舍去.8分

②若，即，

則在（，）上為增函數(shù)，在（，）上為減函數(shù)，

要使在恒有恒成立，則必有

則所以

由于，則，所以.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.12分