Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、.短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，.菱形的面積為，離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)M作斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由已知條件得出關(guān)于方程組求解即可；

（2）方法一：先由已知得出中垂線過點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，最后利用中點(diǎn)在中垂線上得到關(guān)系式求解即可.方法二：先設(shè)出直線的方程，點(diǎn)坐標(biāo)，由已知向量關(guān)系式化簡為坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)差法得出點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可得到等量關(guān)系，求解即可.

解：（1）∵，∴.

又因?yàn)榱庑?/span>的面積為，即有，即，

所以，從而，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由，知，設(shè)，由向量加法的意義，知是線段的中垂線，設(shè)直線的方程為，經(jīng)過N且與垂直的直線為.

設(shè)，由消去，得，

于是有.

關(guān)于A，B關(guān)于直線對稱，故點(diǎn)必在此直線上，

所以，即，所以或，

故所求的直線的方程為或，即或.

解法二：設(shè)，因?yàn)?/span>，所以

.

由題得，即

.①

因?yàn)锳、B在橢圓C上，所以，所以.兩式相減，得，② 因?yàn)?/span>的斜率不為0，所以，將②代①，得.③

因直線經(jīng)過，設(shè)直線的方程為，

由消去，得，

于是有，代入③得，解得，或.

故所求直線的方程為或，即.或.