【題目】如圖，直三棱柱
中，底面
為等腰直角三角形，
，
，
是側(cè)棱
上的點(diǎn)．
（1）若
，證明：是的中點(diǎn)；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）利用勾股定理得出
，再由
可得知
為等邊三角形，利用勾股定理得出
，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
，設(shè)
，利用空間向量法可求得二面角
的余弦值．
（1）由直三棱柱
得
平面
，
、
平面，
，
，
為等腰直角三角形，
，
且
，
由勾股定理得
，
，
是等邊三角形，則
，
由勾股定理得
，
為的中點(diǎn)；
（2）易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則
、
、
，
，
，
設(shè)平面
的法向量為
，由
，得
，
令
，得
，
，
，
又平面
的法向量為
，
，
由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.
探究與鞏固河南科學(xué)技術(shù)出版社系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，由
經(jīng)過伸縮變換
得到曲線
，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，
軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線
的極坐標(biāo)方程為
，與曲線、曲線在第一象限交于
、
，且
，點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
，求
的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：
經(jīng)過點(diǎn)
，橢圓C的離心率為
．
，
是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M為
的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)
，使得
；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線MB與x軸交于點(diǎn)C，直線MA與y軸交于點(diǎn)D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計(jì) |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；
（ii）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用
表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為
、
.短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為
，
.菱形
的面積為
，離心率
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)
，經(jīng)過點(diǎn)M作斜率不為0的直線
交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若
，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若存在直線
，使得對任意的
，
，對任意的
，
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，多面體是由底面為
的直四棱柱被截面
所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中
，
，
，
．
(1)求
的長；
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）的離心率為
，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)T．
（I）求橢圓C的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l′與直線l交于點(diǎn)P，試判斷
是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．
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