Question

已知△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，設(shè)向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，

m

≠

n

（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）若實數(shù)x滿足（sinAcosA）x=1+sin²A，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

m

∥

n

利用向量平行的條件列式，結(jié)合正弦定理化簡得到sin2A=sin2B，由題意得A≠B，所以A+B=

π

2

，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C的值；
（II）根據(jù)誘導(dǎo)公式算出cosA=sinB，代入已知等式加以整理得x=

2sin2A+sin2B

sinAsinB

，再利用正弦定理化簡得x=

2a2+b2

ab

=

b

a

+

2a

b

，最后運用基本不等式求最值，結(jié)合a≠b即可算出x的取值范圍．

解答：解：（I）∵向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，
∴acosA=bcosB，
根據(jù)正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又∵

m

≠

n

，得A≠B，∴A+B=

π

2

，可得C=

π

2

；
（II）Rt△ABC中，A+B=

π

2

，可得cosA=cos（

π

2

-B）=sinB，
∵（sinAcosA）x=1+sin²A，
∴x=

1+sin2A

sinAcosA

=

2sin2A+cos2A

sinAcosA

=

2sin2A+sin2B

sinAsinB

，
根據(jù)正弦定理，得

2sin2A+sin2B

sinAsinB

=

2a2+b2

ab

，
又∵

2a2+b2

ab

=

b

a

+

2a

b

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

2a

b

時，等號成立．
∴x的最小值為2

2

，根據(jù)a≠b可得x≠3，因此x的取值范圍是[2

2

，3)∪(3，+∞)．

點評：本題給出向量含有三角形的邊與角的余弦形式的坐標(biāo)，在向量平行的條件求角C的大小，并依此求x的取值范圍．著重考查了正弦定理、三角恒等變換、向量的坐標(biāo)運算與基本不等式等知識，屬于中檔題．