Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求；
（3）設(shè)，證明：.

Answer 1

(1)  (2)  （3）見解析

試題分析：
(1)當(dāng)帶入式子結(jié)合即可得到的值,當(dāng)時(shí),利用與的關(guān)系()即可得到是一個(gè)常數(shù),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列,但是需要驗(yàn)證是否符合,進(jìn)而證明為等差數(shù)列,即可求的通項(xiàng)公式.
(2)把(1)中得到的的通項(xiàng)公式帶入可得,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯(cuò)位相減法來求的前n項(xiàng)和.
(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項(xiàng)公式為分式,為求其前n項(xiàng)和可以考慮利用裂項(xiàng)求和法.進(jìn)行裂項(xiàng),在進(jìn)行求和就可以得到的前n項(xiàng)和為,利用非負(fù)即可證明原不等式.
試題解析：
（1）由題意，當(dāng)時(shí)，有，     （1分）
兩式相減得 即.           （2分）
由，得.
所以對(duì)一切正整數(shù)n，有，                        （3分）
故，即.                （4分）
（2）由（1），得，
所以 ①                           （5分）
①兩邊同乘以，得 ②          （6分）
①-②，得，                 （7分）
所以，                                    （8分）
故.                    （9分）
（3）由（1），得 （12分）

                  （13分）
.              （14分）