Question

已知a²+b²=1，a，b∈R，求證：|acosθ+bsinθ|≤1．

Answer 1

分析：法一：可利用不等式：（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）直接證明出結(jié)果；
法二：利用換元法轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)中，利用三角函數(shù)的有界性證明不等式

解答：證明：法一：∵（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）
=1•1=1，∴|acos θ+bsin θ|≤1．
法二：由于知a²+b²=1，a，b∈R，故可令a=sinα，b=cosα
由acosθ+bsinθ=sinαcosθ+cosαsinθ=sin（θ+α）∈[-1，1]
故：|acosθ+bsinθ|≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考察基本不等式在最值中的應(yīng)用，對(duì)于本題利用坐差法得出的結(jié)論：（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）證明比較快，但此結(jié)論難記，方法二用到了換元法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到了三角函數(shù)中解決，此方法對(duì)于本題較為有效，可以利用三角換元的問(wèn)題特征：出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)的平方和等于某數(shù)的形式，一般都可進(jìn)行三角換元