Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n∈n*，求證：
（1）當m＜n（m∈N^*）時，f(n)-f(m)＞

n-m

n

；
（2）當n＞1時，f(2n)＞

n+2

2

；
（3）對于任意給定的正數(shù)M，總能找到一個正整數(shù)N₀，使得當n＞N₀時，有f（n）＞M．

Answer 1

分析：（1）當m＜n時，考察f（n）與（m）的差f（n）-f（m），結合放縮法即可證得；
（2）當n＞1時，f(2n)=1+

1

2

+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

)利用放縮法結合等比數(shù)列的求和公式即得結論；
（3）由于f(n+1)-f(n)=

1

n+1

＞0，得出f（n）在N^*上單調遞增．由（2）可知，當n＞1時，f(2n)＞1+

n

2

＞

n

2

．對任意給定的正數(shù)M，設M₀是比M大的最小正整數(shù)，取N0=22 M0，則當n＞N₀時，有f（n）＞M．

解答：證明：（1）當m＜n時，
f（n）-f（m）=

1

m+1

+

1

m+2

+…+

1

n

≥

1

n

+

1

n

+…+

1

n

=

n-m

n

．
（2）當n＞1時，
f(2n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

=1+

1

2

+( 

1

3

+

1

4

 )+…+( 

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

 )＞1+

1

2

+

2

4

+…+

2n-1

2n

=1+

n

2

=

n+2

2

；
（3）∵f(n+1)-f(n)=

1

n+1

＞0，
∴f（n）在N^*上單調遞增．
由（2）可知，當n＞1時，f(2n)＞1+

n

2

＞

n

2

．對任意給定的正數(shù)M，設M₀是比M大的最小正整數(shù)，
取N0=22 M0，則當n＞N₀時，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞

2 M0

2

=M0＞M．

點評：本小題主要考查綜合法與分析法、不等式的證法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．