Question

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=

3

5

，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱錐 A₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理得BC，由勾股定理得AC⊥BC，由CC₁⊥面ABC 得到CC₁⊥AC，從而得到AC⊥面BCC₁，故AC⊥BC₁．
（2）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)E，則DE為△ABC₁的中位線，得到DE∥AC₁，從而得到AC₁∥面B₁CD．
（3）過(guò)C作CF⊥AB垂足為F，CF⊥面ABB₁A₁，面積法求CF，求出三角形DB₁A₁的面積，代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：（1）證明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，∴△ABC為直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC₁⊥面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，∴AC⊥面BCC₁∴AC⊥BC₁．
（2）證明：設(shè)B₁C交BC₁于點(diǎn)E，則E為BC₁的中點(diǎn)，連接DE，則DE為△ABC₁的中位線，
則在△ABC₁中，DE∥AC₁，又DE?面CDB₁，則AC₁∥面B₁CD．
（3）在△ABC中過(guò)C作CF⊥AB垂足為F，
由面ABB₁A₁⊥面ABC知，CF⊥面ABB₁A₁，∴VA1-B1CD=VC-A1DB1．
而S△DA1B1=

1

2

A1B1•AA1=5×4×

1

2

=10，

CF= AC•BC AB = 3×4 5 = 12 5

，
∴

VA1-B1CD= 1 3 ×10× 12 5 =8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，求三棱錐的體積，求點(diǎn)C到面A₁B₁D的距離是解題的難點(diǎn)．