Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）．

（1）若僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）;(2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化不等式，再通過與的大小討論即可求的取值范圍；（2）通過的范圍及的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可確定函數(shù)恒成立的條件，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)函數(shù)求恒成立問題.

試題解析：（1），

由得到或 （*）

由于僅有一個(gè)極值點(diǎn)，

關(guān)于的方程（*）必?zé)o解，

①當(dāng)時(shí)，（*）無解，符合題意，

②當(dāng)時(shí)，由（*）得，故由得，

由于這兩種情況都有，當(dāng)時(shí)，，于是為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，于是為增函數(shù)，∴僅為的極值點(diǎn)，綜上可得的取值范圍是；

（2）由（1）當(dāng)時(shí)，為的極小值點(diǎn)，

又∵對于恒成立，

對于恒成立，

對于恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有另一個(gè)零點(diǎn)，

即，

且，（#）

所以，

下面再證明，即證，

由得，

由于為減函數(shù)，

于是只需證明，

也就是證明，

，

借助（#）代換可得，

令，

則,

∵為的減函數(shù)，且，

∴在恒成立，

于是為的減函數(shù)，即，

∴，這就證明了，綜上所述，．